老姚专栏丨 为什么样本方差公式的分母为n-1?

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为什么样本方差公式的分母为

学习过统计学基础的朋友们都知道：总体方差，其中为总体均值，为总体容量；样本方差，其中为样本均值，为样本容量。令很多初学者纳闷的是，为什么样本方差公式的分母为n-1而不为n呢？

为了回答上述问题，我们首先来理解一个事实：一般而言，总体分布要比样本分布显得更离散。例如，当全国成年人的身高数据构成一个总体时，总体分布的离散程度就会因“巨人”姚明的身高而变得比较大。然而，若从总体中随机抽取1000人形成一个样本，则可以预期，样本分布的离散程度要比总体分布的离散程度小，其基本的道理是：样本包含姚明的概率极低。换言之，1000个样本观测单元大概率都是一些具有正常身高的人。

总体分布比样本分布显得更离散，用统计学术语讲，就是总体的变异性大于样本的变异性。理解这个事实是重要的，因为“利用样本中的有限数据推断出总体的大致情况”正是统计推断的目的，而这一事实意味着样本的变异性是对总体变异性的有偏估计。

幸运的是，样本变异相对于总体变异的偏差是恒定而可预测的，因而可被校正。只要偏差可被校正，样本变异就是对总体变异的一个有用的“指示器”——一个简单的类比是，如果汽车速度表上显示的速度总是比实际速度慢1公里，那么这并不意味着速度表没有用处。其实，只要我们每次在读取速度时将速度表上显示的数据加上1，就能获知准确的速度。

正是为了校正样本变异的偏差，样本公式的分母才为而不为。显然，作为分母让样本方差变得更大。但问题是，为什么是而不是其他小于的数呢？可以证明：，亦即以为分母的样本方差是对总体方差的无偏估计。本文在此不具体证明这个统计学结论，而是替之以一个比较直观的数值例子。

假设一个总体仅包含3个数据：0、3、9，总体均值；总体方差。针对该总体，基于有放回的抽样方案，我们可以获得9个样本容量均为2的样本。对于每一个样本，我们首先计算样本均值，然后通过公式计算无偏样本方差，通过计算有偏样本方差。具体计算结果见下表：

样本	样本均值	无偏样本方差	有偏样本方差
（0，0）	0	0	0
（0，3）	1.5	4.5	2.25
（0，9）	4.5	40.5	20.25
（3，0）	1.5	4.5	2.25
（3，3）	3	0	0
（3，9）	6	18	9
（9，0）	4.5	40.5	20.25
（9，3）	6	18	9
（9，9）	9	0	0
合计	36	126	63
均值	4	14	7

上表显示，样本均值的均值等于总体均值，表明样本均值是总体均值的无偏估计量；无偏样本方差的均值等于总体方差，表明无偏样本方差是总体方差的无偏估计量；有偏样本方差的均值小于总体方差，表明有偏样本方差低估了总体方差。

在统计学中，作为样本方差公式的分母，被称为自由度——样本中独立、可自由变化数据的数目。对于一个样本容量为的样本，在计算样本方差时其自由度之所以为，是因为计算样本方差首先需计算样本均值，而这相当于样本数据之和在计算样本方差前就已经被给定。显然，在个数据之和被给定的情况下，一旦个数据的取值被确定，余下一个数据的取值就随之而定。因此，可以自由变化数据的数目为。鉴于仅有个数据对样本总变异作出独立的贡献，样本总变异在而非个数据间进行平均分摊，从直觉上看应是合理的。

END

企研数据创始学术顾问 · 姚耀军

姚耀军，1976年出生，湖北利川人，浙江工商大学金融学院教授，博士生导师，浙江省高校中青年学科带头人，浙江省首期之江青年社科学者，企研数据创始学术顾问。曾获中国制度经济学年会优秀论文奖、全国金融硕士教学案例大赛优秀案例奖、浙江省高校优秀科研成果一等奖、《金融研究》优秀论文奖、《财经研究》创刊60周年优秀论文一等奖等荣誉。担任《金融研究》《财经研究》等多个学术期刊的审稿专家。研究领域：金融发展理论与实证、应用计量经济学。

邮箱：[e-mail]

代表论文：

[1]姚耀军，施丹燕.互联网金融区域差异化发展的逻辑与检验——路径依赖与政府干预视角[J].金融研究，2017(05):127-142.

[2]姚耀军.制度质量对外资银行进入的影响——基于腐败控制维度的研究[J].金融研究，2016(03):124-139.

[3]姚耀军，董钢锋.中小企业融资约束缓解:金融发展水平重要抑或金融结构重要?-来自中小企业板上市公司的经验证据[J].金融研究，2015(04):148-161.

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